Найти частное решение дифференциального уравнения у"+7у'+6у=0 у(0)=1; у'(0)=2

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение. которое имеет вид:
$\displaystyle k^2+pk+q=0$

$\displaystyle k^2+7k+6=0\\D=49-24=25=5^5\\k_1=-1; k_2=-6$

тогда общее решение данного уравнения примет вид:

$\displaystyle y=C_1e^{-x}+C_2e^{-6x}$

найдем частное решение при условии
y(0)=1 и y`(0)=2

Подставим х=0 в общее решение нашего уравнения

$\displaystyle y(0)=C_1*e^0+C_2*e^0=C_1+C_2=1$

Теперь найдем производную

$\displaystyle y`(x)=-1*C_1e^{-x}-6C_2e^{-6x}$

и найдем его значение при х=0

$\displaystyle y`(0)=-C_1e^0-6C_2e^0=-C_1-6C_2=2$

получили систему. Решим ее

$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {-C_1-6C_2=2}} \right\\ \left \{ {{C_1=1-C_2} \atop {-(1-C_2)-6C_2=2}} \right.\\ \left \{ {{C_1=1-C_2} \atop {-5C_2=3}} \right.\\ \left \{ {{C_1= \frac{8}{5}} \atop {C_2=- \frac{3}{5}}} \right.$

тогда частное решение будет иметь вид

$\displaystyle y= \frac{8}{5}e^{-x}- \frac{3}{5}e^{-6x}$