Центр шара лежит в точке, равноудалённой от сторон треугольника, образуя вместе с вершинами треугольника треугольную пирамиду с равными апофемами. Апофемы равны, значит основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание пирамиды окружности.
Площадь основания можно вычислить по формуле Герона:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р=(a+b+c)/2.
Подставив числовые значения a=13, b=14 и с=15 получим S=84 см.
Радиус вписанной окружности: r=S/p=2S/(a+b+c).
r=2·84/(13+14+15)=4 см.
Высота пирамиды, проведённая к данному треугольнику - это расстояние от центра шара до треугольника.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и найденным радиусом, высота по теореме Пифагора равна:
h=√(l²-R²), где l- апофема пирамиды (равна радиусу шара).
h=√(5²-4²)=3 см - это ответ.