Уравнение по тригонометрии

$\displaystyle tg2x+ctgx=8cos^2x$

$\displaystyle \frac{sin2x}{cos2x}+ \frac{cosx}{sinx}=8cos^2x$

$\displaystyle \frac{2sinxcosx}{1-2sin^2x}+ \frac{cosx}{sinx}=8cos^2x$

вынесем cos x за скобку как общий множитель

и тогда первый корень

$\displaystyle cosx=0; x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n; n\in Z$

решаем дальше

$\displaystyle \frac{2sinx}{1-2sin^2x}+ \frac{1}{sinx}=8cosx$

$\displaystyle \frac{2sin^2x+1-2sin^2x}{sinx(1-2sin^2x)}=8cosx$

$\displaystyle \frac{1}{1-2sin^2x}=8sinxcosx$

$\displaystyle \frac{1}{cos2x}=4sin2x$

$\displaystyle 1=4sin2xcos2x 1=2sin4x sin4x=1/2$

$\displaystyle 4x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi n; n\in Z$

$\displaystyle 4x= \frac{5 \pi }{6}+2 \pi n; n\in Z$

$\displaystyle x= \frac{ \pi }{24}+ \frac{ \pi n}{2}; n\in Z$

$\displaystyle x= \frac{5 \pi }{24}+ \frac{ \pi n}{2}; n\in Z$

это второй и третий корень

выборка корней

7π/2; 77π/24;89π/24; 73π/24;85π/24