Докажите, что 2*2^2+3*2^3+...+n*2^n=(n-1)*2^n+1

Естественно, доказывается это методом математической индукции:
1) При n = 2:
$2 \cdot 2^2 = (2 - 1) \cdot 2^{2 + 1} \\ 2^3 = 1 \cdot 2^3 \\ 8 = 8$
Равенство верно, переходим к следующему шагу:
2) Пусть при n = k равенство верно:
$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = (k - 1) \cdot 2^{k + 1}$
3) Шаг индукции: докажем, что и при n = k + 1 равенство тоже верно:
$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k + (k + 1) \cdot 2^{k + 1}= (k - 1 + 1) \cdot 2^{k + 1 + 1 } \\ 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k + (k + 1) \cdot 2^{k + 1}= k \cdot 2^{k + 2} \\ 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = k \cdot 2^{k + 2} - (k + 1) \cdot 2^{k + 1} \\ 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = 2k \cdot 2^{k + 1} - (k + 1) \cdot 2^{k + 1} \\ 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = 2^{k + 1} \cdot (2k - k - 1)\\$
$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = (k - 1) \cdot 2^{k + 1}$
Мы пришли к равенству в пункте (2), которое предполагало, что при n = k равенство верно. Значит, для любых n ∈ N равенство также верно.