Исследовать функцию f (x) = 12x/(9+x²) и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Функция f (x) = 12x/(9+x²) непрерывна на всей области
определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = 12*(–x)/(9+(–x)²) = –(12x(9+x²)) = –f(x).
Функция является нечетной. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция
непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, 12x/(9+x²) = 0 ⇒
x=0. Значит
(0;0) - точка пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒
y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью
Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
Находим производную заданной функции.
f′(x)=(12⋅x/(9+x²))′=
=((12⋅x)′⋅(9+x²
)−12⋅x⋅(9+x²
)′)/(9+x²)²=
=(12⋅(9+x²)−12⋅x⋅(x²
)′)(9+x²)²=
=((12⋅(9+x²
)−24⋅x⋅x)/(9+x²)²Ответ:
f′(x)=(12⋅(9+x2)−24⋅x²)(9+x²)² = (12(9-x²))/(9+x²)
².
Приравниваем её нулю (достаточно числитель):
12(9-х²) = 0, 9 = х², х = +-3.
x =
3, x = -3 критические точки.
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_{1} = -3
Максимум функции в точке: x_{2} = 3.
Где
производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Убывает на промежутках (-oo, -3] U [3, oo).
Возрастает на промежутке [-3, 3].
6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
Вторая производная 
Приравниваем нулю и решаем это уравнение.
Для дроби достаточно нулю приравнять числитель:
24x(x²-27) = 0.
Решаем это уравнение: х = 0, х² - 27 = 0
Корни этого уравнения: х₁ = 0. х₂ = √27 =3√3, х₃ = -√27 = -3√3.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-3*sqrt(3), 0] U [3*sqrt(3), oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -3*sqrt(3)] U [0, 3*sqrt(3)]
8. Искомый график функции дан в приложении.