Даю 99 баллов, 11 клас, помогите разобраться в этом бреде! Объем шара, как известно,...

Даю 99 баллов, 11 клас, помогите разобраться в этом бреде!
Объем шара, как известно, (4/3)*pi*(r^3).
Объем куба (2*r)^3 = 8*(r^3).
А объем чего же тогда получаю я, когда решаю определенный интеграл:
$\int\limits^r_{-r} { \pi x^{2}} \, dx = \frac{2}{3} \pi r^{3}$
Объем той фигуры, которая получится, если вынуть сферу из куба? Но ее объем должен быть приблизительно в 2 раза больше...
Объем фигуры, которая получится, если разрезать сферу по оси y и соединить противоположными концами? Но ее объем равен объему сферы, он тоже в 2 раза больше.

Я знаю, что объем шара выводится так:
$V = \int\limits^r_{-r} { \pi ( r^{2} -x^{2})} \, dx = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

Но я не могу понять, в чем разница: брать r^2-x^2 или просто x^2, мне кажется, объемы в этом случае должны быть равными, а они отличаются в 2 раза.

Пожалуйста, объясните мне, чего я не понимаю...