8. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если b2 − b5 =78, b3 +b4...

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ n-ый член геометрической прогрессии
Воспользуемся этой формулой
$\displaystyle \left \{ {{b_2-b_5=78} \atop {b_3+b_4+b_5=-117}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1q-b_1q^4=78} \atop {b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4=-117}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \left \{ {{b_1q(1-q^3)=78} \atop {b_1q^2(1+q+q^2)=-117}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1q(1-q)(1+q+q^2)=78} \atop {b_1q^2(1+q+q^2)=-117}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \left \{ {{b_1q(1+q+q^2)= \dfrac{78}{1-q} } \atop {b_1q(1+q+q^2)\cdot q=-117}} \right. \\ \\ \\ \frac{78}{1-q}\cdot q=-117|\cdot(1-q)$
$78q=-117(1-q)\\ 78q=-117+117q\\ -39q=-117\\ q=3$
Тогда первый член этой прогрессии:
$b_1= \dfrac{78}{q(1-q^3)} = \dfrac{78}{3\cdot(1-3^3)} =-1$

Ответ: $b_1=-1;\,\,\,\,\, q=3.$