Высшая математика.Дифференциальные уравнения

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y^{IV}-y''=0$
Это однородное уравнение четвёртого порядка. Перейдем к характеристическому уравнению, сделав замену $y=e^{kx}$ , имеем

$k^4-k^2=0\\ k^2(k^2-1)=0\\ k_1=0\\k_2=0\\ k_3=1\\ k_4=-1$

Общее решение - $y=C_1+xC_2+C_3e^x+C_4e^{-x}$

$2(y')^2=(y-1)y''$
Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от независимой переменной х. То есть, порядок производной может быть понижен с помощью замены $y'=p(y),\,\,\,\, y''=p*p'(y)$

$2p^2=(y-1)p*p'\\ 2p=(y-1)p'$
А это уравнение с разделяющимися переменными

$p'= \frac{2p}{y-1} \\ \\ \frac{dp}{dy} =\frac{2p}{y-1} \\ \\ \frac{dp}{2p} = \frac{dy}{y-1}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

$\frac{1}{2} \ln|p|=\ln|y-1|+\ln|C|\\ p=C(y-1)^2$

Сделаем обратную замену
$y'=C(y-1)^2\\ \\ \frac{dy}{(y-1)^2} =dx$
Интегрируя обе части, имеем

$C_2- \dfrac{1}{C_1(y-1)} =x$ - общий интеграл (ответ)

$y'=(2y+1)ctg x$
Очевидно, что данное дифференциальное уравнение - уравнение с разделяющимися переменными.
Переходя к дифференциалам, имеем
$\frac{dy}{dx} =(2y+1)ctg x\\ \\ \frac{dy}{2y+1} =ctg dx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

$\displaystyle \frac{1}{2}\ln|2y+1|=\int\limits \, \frac{d(\sin x)}{\sin x} \\ \\ \\ \ln| \sqrt{2y+1} |=\ln |C\sin x|\\ \\ y= \frac{C^2\sin^2x-1}{2}$

аноним 14 Май, 18