Доказать тождества: 1. (A х В) • rot С = В • (A• ∇) • C - А • (B • ∇) • C ; 2. (A х ∇) х...

Question

Доказать тождества:
1. (A х В) • rot С = В • (A• ∇) • C - А • (B • ∇) • C ;
2. (A х ∇) х В = (A• ∇) • B + А х rotB - AdivB;
A, B - вектора
∇ - набла

Answer 1

1.
[A x B] * rot C = [A x B] * [∇ x C] = {смешанное произведение} =
([A x B], ∇, C) = {циклическая перестановка не меняет результат} =
(C, [A x B], ∇) = С * [[A x B] x ∇] = C * [∇ x [B x A]] =
{формула Лагранжа для двойного векторного произведения} =
C * (B(∇*A) - A(∇*B)) = B(A*∇)C - A(B*∇)C

2.
[[A x ∇] x B] = [B x [∇ x A]] = {формула Лагранжа} =
∇(A*B) - A(∇*B) =
{ [A x [∇ x B]] = ∇(A*B) - B(∇*A) --> ∇(A*B) = [A x [∇ x B]] + B(∇*A) } =
[A x [∇ x B]] + B(∇*A) - A(∇*B) = [A x rot B] + B div A - A div B