1.
f(x)=(√(x-1))/(x²-4)
{x-1≥0
{x≠2
{x≠ -2
{x≥1
{x≠2
{x≠ -2
D(f)=[1; 2)U(2; +∞) - область определения
E(f)=(-∞; +∞) - область значений.
g(x)=3sin(x-п/4)+1
D(g)=(-∞; +∞) - область определения
-1≤sin(x-п/4)≤1
3*(-1)+1= -2
3*1+1=4
E(g)=[-2; 4] - область значений.
2.
a) 2cosx=1
cosx=1/2
x=(+/-)п/3 + 2пn, n∈Z
Ответ: (+/-)п/3 + 2пn, n∈Z.
б) ctg(x/2)= -√3
x/2= 5п/6 + пn
x=5п/3 + 2пn, n∈Z
Ответ: 5п/3 + 2пn, n∈Z.
в) sinx + cosx=0
sinx/cosx + cosx/cosx = 0/cosx
tgx+1=0
tgx= -1
x= -п/4 + пn, n∈Z
Ответ: -п/4 + пn, n∈Z.
г) 2cos²x - sinx=0
2(1-sin²x)-sinx=0
2-2sin²x-sinx=0
-2sin²x-sinx+2=0
2sin²x+sinx-2=0
t=sinx
t²=sin²x
2t²+t-2=0
D=(-1)² -4*2*(-2)=1+16=17
t₁=(-1-√17)/4 ≈ -1.28
t₂=(-1+√17)/4≈ 0.78
При t=(-1-√17)/4
sinx=(-1-√17)/4
нет решений, т.к. -1≤sinx≤1.
При t=(-1+√17)/4
sinx=(-1+√17)/4
x=(-1)ⁿ arcsin(-1+√17)/4 + пn, n∈Z.
4.
а) f ' (x)=4x³ -5(2x+4)⁴ * 2=4x³ -10(2x+4)⁴
f '(1)=4*1³ - 10(2*1+4)⁴=4-10*6⁴=4-10*1296= -12956
б) f '(x)= -4sin4x - [1/sin²x]
f '(п/2)= -4sin(4 * п/2) - [1/sin²(п/2)] = -4sin2п - ¹/₁ = 0-1= -1
в) f '(x)=[1/(2√(x²-8x+20))] *(2x-8) =(x-4)/√(x²-8x+20)
f '(4)=(4-4)/√(4²-8*4+20)=0
5.
a) f(x)= ¹/₃ x³ -2x x₀=3
f(3)= ¹/₃ * 3³ -2*3=3² - 6=9-6=3
f ' (x)=x²-2
f '(3)=3²-2=7
y=3+7(x-3)=3+7x-21=7x-18
y=7x-18 - уравнение касательной.
б) f(x)=(x-1)/(x+1) x₀= -2
f(-2)=(-2-1)/(-2+1) = -3/(-1) =3
f '(x)=[x+1-(x-1)]/(x+1)² =2/(x+1)²
f '(-2)=2/(-2+1)² =2/1=2
y=3+2(x+2)=3+2x+4=2x+7
y=2x+7 - уравнение касательной.
3.
а) √2 cosx <1<br> cosx < 1/√2
п/4 + 2пn < x < 7п/4 + 2пn, n∈Z∈
x∈(п/4 + 2пn; 7п/4 + 2пn), n∈Z.
б) sin(x-п/6)≥ -1/2
-п/6 + 2пn ≤ x-п/6 ≤7п/6 + 2пn
-п/6 + п/6 + 2пn ≤ x ≤ 7п/6 + п/6 + 2пn
2пn ≤ x ≤ 4п/3 + 2пn, n∈Z
x∈(2пn; 4п/3 + 2пn), n∈Z
6. y=x(x-1)²
1. Область определения:
D(y)=(-∞; +∞)
2. Множество значений:
E(y)=(-∞; +∞)
3. Нули функции:
x(x-1)²=0
x=0 и x=1
4. Четность функции:
y(-x)= -x(-x-1)² = -x(-(x+1))²= -x(x+1)²
Функция не является ни четной, ни нечетной.
5. Точки пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: (0; 0) и (1; 0);
б) с осью ОУ: (0; 0).
6. Промежутки знакопостоянства:
y>0 и y<0<br> x(x-1)²>0
x=0 x=1
- + +
--------- 0 ---------- 1 -----------
y>0 при x∈(0; 1)U(1; +∞)
y<0 при x∈(-∞; 0)<br>
7. Критические точки:
y=x(x-1)²=x(x²-2x+1)=x³-2x²+x
y ' =3x²-4x+1
3x²-4x+1=0
D=(-4)² -4*3*1=16-12=4
x₁=(4-2)/6=1/3
x₂=(4+2)/6=1
+ - +
------- 1/3 ----------- 1 -----------
x=1/3 y= 1/3 (¹/₃ - 1)² = ¹/₃ * ⁴/₉ = ⁴/₂₇ ≈0.15 - точка max
x=1 y= 1(1-1)² =0 - точка min
8. Промежутки возрастания и убывания функции:
при х∈[-∞; 1/3]U[1; +∞) функция ↑ (возрастает);
при х∈[1/3; 1] функция ↓ (убывает).
9. Точки для построения графика:
x=-2 y= -18
x= -1.5 y= -9.4
x= -1 y= -4
x= -0.5 y= -1.1
x=0 y=0
x=1/3 y=0.15 - точка max
x=0.5 y=0.1
x=1 y=0 - точка min
x=1.5 y=0.4
x=2 y=2
x=2.5 y=5.6
x=3 y=12