С учётом ОДЗ составим систему неравенств:
4 + 1/х > 0
3 - 2x > 0
-8x +5 -4/x > 0
(4 +1/x)( 3 - 2х) ≥ -8х +5 -4/х
Решаем каждое неравенство, а общее решение найдём о одной числовой прямой.
а)4 + 1/х > 0
(4x +1)/х > 0
метод интервалов:
4х +1 = 0 х = 0
х = -1/4
-∞ -1/4 0 +∞
- + -
IIIIIIIIIIIIII
б) 3 - 2x > 0
-2x > -3
x < 1,5
-∞ 1,5 +∞
IIIIIIIIIIIIIIIII
в) -8x + 5 - 4/х > 0
(-8x² +5x -4)/х > 0
метод интервалов
-8х² +5х -4 = 0
D < 0 корней нет, значит -8x² +5x -4 < 0 при любом х
вывод: знаменатель х < 0 - и это решение этого неравенства
г)(4 +1/x)( 3 - 2х) ≥ -8х +5 -4/х
(4 +1/x)( 3 - 2х) + 8х -5 + 4/х ≥ 0
12 +3/х -8х -2 +8х -5 +4/х ≥ 0
8 +7/х ≥ 0
(8х +7)/х ≥ 0
метод интервалов:
8х +7 = 0 х = 0
х = -7/8
-∞ -7/8 0 +∞
+ - +
IIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIII
теперь всё надо собрать на одну прямую и записать ответ: