Стороны треугольника равны 13,14,15. Найти сумму длин всех высот этого треугольника.

SΔ=(a*h₁)/2, h₁ - высота, проеденная к стороне а. а=13
SΔ=(b*h₂)/2, h₂ - высота проведенная к стороне b. b=14
SΔ=(c*h₃)/2, h₃ - высота, проведенная к стороне с. c=15

зная длины сторон треугольника, площадь треугольника найдем по формуле Герона:

$S= \sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}$
$p= \frac{a+b+c}{2}$
$p= \frac{13+14+15}{2}$
p=21
$S= \sqrt{21*(21-13)*(21-14)*(21-15)} =84$
$S= \frac{a* h_{1} }{2}$
$h_{1} = \frac{2*S}{a}$
$h_{1} = \frac{168}{13}$
$h_{2} = \frac{168}{14}$
$h_{3} = \frac{168}{15}$
$h_{1}+ h_{2}+ h_{3}= \frac{168}{13}+ \frac{168}{14}+ \frac{168}{15} = \frac{168*(14*15+13*15+14*13)}{2730} = \frac{98616}{2730} =$
$=36 \frac{336}{2730} =36 \frac{8}{65}$

ответ: сумма высот треугольника со сторонами 13,14,15 равна 36 целых 8/65