Катет ВС лежит напротив угла в 30°, значит ВС=АВ/2=6 см.
АС=√(АВ²-ВС²)=6√3 см.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному.
АС/ВС=АН/СН
и
АС/ВС=СН/ВН.
Перемножим два уравнения:
АС²/ВС²=АН/ВН.
Пусть АН=х, тогда ВН=АВ-АН=12-х.
(6√3)²/6²=х/(12-х),
3=х/(12-х),
36-3х=х,
4х=36,
х=9.
АН=9 см, ВН=12-9=3 см - это ответ.