Для разложения функции f(x)f(x) в ряд Фурье по косинусам воспользуемся стандартной формулой:
f(x)=a02+∑n=1∞ancosnx, x∈(0;π).f(x)=a02+∑n=1∞ancosnx, x∈(0;π).
Вычислим коэффициенты a0a0 и anan:
a0=2π∫0πf(x)dx=1π∫0π(π−x)dx=1π(πx−x22)∣∣∣π0=1π(π2−π22)=π2;a0=2π∫0πf(x)dx=1π∫0π(π−x)dx=1π(πx−x22)|0π=1π(π2−π22)=π2;
an=2π∫0πf(x)cosnxdx=1π∫0π(π−x)cosnxdx=π−xnπsinnx∣∣∣π0+1nπ∫0πsinnxdx=an=2π∫0πf(x)cosnxdx=1π∫0π(π−x)cosnxdx=π−xnπsinnx|0π+1nπ∫0πsinnxdx=
=0−1n2πcosnx∣∣∣π0=−cosnπ−1n2π=1−(−1)nn2π=⎧⎩⎨0,2(2k−1)2π,n=2k,n=2k−1.=0−1n2πcosnx|0π=−cosnπ−1n2π=1−(−1)nn2π={0,n=2k,2(2k−1)2π,n=2k−1.
Итак, π−x2=π4+2π∑k=1∞cos[(2k−1)x](2k−1)2, x∈(0;π).π−x2=π4+2π∑k=1∞cos[(2k−1)x](2k−1)2, x∈(0;π).
Для вычисление суммы ∑k=1∞1(2k−1)2∑k=1∞1(2k−1)2 положим x=0x=0:
f(0)=π4+2π∑k=1∞1(2k−1)2=π−02,f(0)=π4+2π∑k=1∞1(2k−1)2=π−02, откуда ∑k=1∞1(2k−1)2=π28.∑k=1∞1(2k−1)2=π28.
Для вычисление суммы ∑k=1∞1(2k−1)4∑k=1∞1(2k−1)4 воспользуемся равенством Парсеваля:
a202+∑n=1∞(a2n+b2n)=1π∫−ππf2(x)dxa022+∑n=1∞(an2+bn2)=1π∫−ππf2(x)dx
Учитывая, что функцию f(x)f(x) раскладывали только по косинусам, имеем следующее равенство:
π28+4π2∑k=1∞1(2k−1)4=2π∫0π(π−x2)2dx=12π∫0π(π−x)2dx=16π(x−π)3∣∣∣π0=π26,π28+4π2∑k=1∞1(2k−1)4=2π∫0π(π−x2)2dx=12π∫0π(π−x)2dx=16π(x−π)3|0π=π26,
откуда ∑k=1∞1(2k−1)4=π24(π26−π28)=π496.∑k=1∞1(2k−1)4=π24(π26−π28)=π496.