Из вершины A прямоугольника АВСD к его плоскости проведён перпендикуляр АМ. ...

Question

Из вершины A прямоугольника АВСD к его плоскости проведён перпендикуляр АМ.
Вычислительной дину этого перпендикуляра если МВ=15 МС=24 MD=20

Answer 1

АВСД - прямоугольник,  АМ⊥ пл. АВСД  ⇒  АМ⊥АВ и АМ⊥АД .
МВ=15, МС=24, МД=20
Так как МВ - наклонная, а АМ⊥АВ , то АВ - проекция наклонной МВ на пл. АВСД. Причём, АВ⊥ВС. По теореме о трёх перпендикулярах тогда и наклонная МВ⊥ВС  ⇒  ΔМВС - прямоугольный, ∠МВС=90°  ⇒
по теореме Пифагора :  ВС²=МС²-МВ²=24²-15²= 351 ,  ВС=√351 .
АД=ВС=√351 .
Аналогично, можно доказать, что МД⊥СД
 (СД⊥АД , АД - проекция МД  ⇒  МД⊥СД) .
ΔМДС - прямоугольный , ∠МДС=90° .
СД²=МС²-МД²=24²-20²=176 ,  СД=√176 .
АВ=СД=√176 .
ΔАМВ:  ∠МАВ=90° ,  АМ²=МВ²-АВ²=15²-176=225-176=49 .
АМ=√49=7 .

Answer 2

Обозначим искомый перпендикуляр х, стороны прямоугольника а и в.
Тогда на основе прямоугольных треугольников с общим катетом МА = х имеем: 
МВ² = 15² = х² + в²,               (1)
МС² = 24² = х² + а² + в²,        (2) 
MD² = 20² = х² + а².               (3)
Вычтем из уравнения (2) уравнение (3):
в² = 24² - 20² = (24 - 20)(24+20) = 4*44 = 176.
Из уравнения (1) получаем х² = 15² - в² = 225 - 176 = 49.
Отсюда ответ: длина перпендикуляра АМ = √49 = 7.