Помогите пожалуйста с решением

Question 1

Question 2

A) Свойство нормированности
$\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {f(x)} \, dx=1\\ \int\limits^7_1 { \frac{a(x-1)}{6} } \, dx = \frac{a}{6} ( \frac{x^2}{2}-x )|_1^7= \frac{a}{6} ( \frac{7^2}{2}-7 )- \frac{a}{6} ( \frac{1^2}{2}-1 )= \frac{a}{6} *18=3a=1\\ a= \frac{1}{3}$

б) $F(x)= \int\limits^x_{-\infty} {f(t)} \, dt$
При $x \in (-\infty;1]$ имеем
$F(x)= \int\limits^x_{-\infty} {0} \, dt=0$
При $x \in (1;7)$
$F(x)= \int\limits^1_{-\infty} {0} \, dx + \int\limits^x_1 { \frac{x-1}{18} } \, dx =\frac{1}{18} \int\limits^x_1 { (x-1)} \, dx= \frac{1}{18} \frac{(x-1)^2}{2} |_1^x= \frac{(x-1)^2}{36}$
При $x \in [7;+ \infty)$
$F(x)= \int\limits^1_{-\infty} {0} \, dx + \int\limits^7_1 { \frac{x-1}{18} } \, dx + \int\limits^x_7 {0} \, dx = \frac{(x-1)^2}{36} |_1^7=\frac{(7-1)^2}{36}-\frac{(1-1)^2}{36}=1$
$F(x)= \left\{\begin{array}{c}0, \ x \leq 1\\ \frac{(x-1)^2}{36} , \ 1\ \textless \ x\ \textless \ 7\\1, \ x \geq 7\end{array}$

в) $P(4\ \textless \ X\ \textless \ 8)= \int\limits^8_4 {f(x) } \, dx = \int\limits^7_4 { \frac{x-1}{18}} \, dx + \int\limits^8_7 {0} \, dx = \frac{(x-1)^2}{36} |_4^7=\\=\frac{(7-1)^2}{36}-\frac{(4-1)^2}{36}=1- \frac{1}{4} = \frac{3}{4} =0,75$

г) $MX=\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {xf(x)} \, dx = \int\limits^1_{-\infty} {0} \, dx + \int\limits^7_1 { x\, \frac{x-1}{18} } \, dx + \int\limits^{+\infty}_7 {0} \, dx =\\ =\int\limits^7_1 { \frac{x^2-x}{18} } \, dx = \frac{1}{18} ( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} )|_1^7= \frac{1}{18} (( \frac{7^3}{3} - \frac{7^2}{2} )-( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} ))=\\= \frac{1}{18} (( \frac{343}{3} - \frac{49}{2} )-( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} ))=\frac{1}{18} (\frac{342}{3} - \frac{48}{2} )= \frac{1}{18} (114-24)=5$
$MX^2= \int\limits^{+\infty}_{-\infty} {x^2f(x)} \, dx =\int\limits^1_{-\infty} {0} \, dx + \int\limits^7_1 { x^2 \, \frac{x-1}{18} } \, dx + \int\limits^{+\infty}_7 {0} \, dx =\\ =\int\limits^7_1 { \frac{x^3-x^2}{18} } \, dx =\frac{1}{18} (\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} )|_1^7= \frac{1}{18}(( \frac{7^4}{4} - \frac{7^3}{3} )-( \frac{1^4}{4} - \frac{1^3}{3} ))= \\=\frac{1}{18} (( \frac{2401}{4}-\frac{343}{3} )-( \frac{1}{4}-\frac{1}{3} ))= \frac{1}{18} ( \frac{2400}{4}-\frac{342}{3} )=\frac{1}{18}(600-114)=27$
$DX=MX^2-[MX]^2=27-5^2=27-25=2$