. В трапеции проведены два параллельных основанию отрезка. Один проходит через точку...

0 голосов
31 просмотров

. В трапеции проведены два параллельных основанию отрезка. Один проходит
через точку пересечения диагоналей и равен 1,6. Другой, равный 2, делит её на две
подобные трапеции. Найдите отношение отрезков боковой стороны, на которые
делят её два данных отрезка.

Геометрия (122 баллов) | 31 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
ABCD- трапеция
AC ∩ BD=O
PK ║ BC
LF ║ AD
PK=1.6
LF=2
трапеция LBCF подобна трапеции ALFD
BP:PL:AL- ?

ABCD- трапеция
AC ∩ BD=O
Пусть BC=a,  а AD=b   a\ \textless \ b
1) Δ AOD подобен Δ BCO ( по двум углам)
\frac{AO}{OC} =\frac{AD}{BC}= \frac{a}{b}
Δ APO подобен Δ ACB  ( по двум углам)
\frac{AO}{AC}= \frac{PO}{BC}= \frac{b}{a+b}
Значит, PO= \frac{BC*b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}
Аналогично:
Δ DOK подобен Δ DBC (по двум углам) ⇒ OK= \frac{ab}{a+b}
PK=OK+OP
PK= \frac{2ab}{a+b}
PK=1.6
\frac{2ab}{a+b}=1.6

2) трапеция LBCF подобна трапеции ALFD (по условию) ⇒ \frac{a}{LF} = \frac{LF}{b}
LF^2=ab
LF=2 ⇒ ab=4
Составим систему уравнений и решим:
\left \{ {{ \frac{2ab}{a+b}=1.6} \atop {ab=4}} \right.
\left \{ {{ \frac{2*4}{a+b}=1.6} \atop {ab=4}} \right.
\left \{ {{a+b}=5} \atop {ab=4}} \right.
\left \{ {{a=5-b} \atop {ab=4}} \right.
\left \{ {{a=5-b} \atop {b(5-b)-4=0} \right.
\left \{ {{a=5-b} \atop {b^2-5b+4=0} \right.
b^2-5b+4=0
D=(-5)^2-4*1*4=9
b_1= \frac{5+3}{2}=4,     a_1=5-4=1
b_2= \frac{5-3}{2} =1,     a_2=5-1=4
BC=1,   AD=4

3) Проведем BZ ║ CD ⇒ ZBCD- параллелограмм
BC=ZD=1
BZ ∩ PK=T
BZ ∩ LF=Q
AZ=AD-ZD=4-1=3
PT=PK-KT=1.6-1=0.6
LQ=LF-QF=2-1=1

4) Обозначим BP=x,  LP=y
BL=LP+PB=x+y
Δ PBT подобен Δ LBQ (по двум углам)
\frac{PB}{BL} = \frac{PT}{LQ}
\frac{x}{x+y} = \frac{0.6}{1}
x=0.6(x+y)
x=0.6x+0.6y
0.4x=0.6y
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2
(192k баллов)
Похожие задачи