Дана функция f(x)=2+9x+3x^2-x^3
Найти :
1. критические точки функции ;
2. экстремума функции .
========================
1.
f(x)= - x³ + 3x² + 9x +2 * * * ООФ : x ∈ R * * *
Критическая точка функции , эта точка в которой ее производная равна нулю или не существует . Здесь функция непрерывная и имеет производную в любой точке (многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами ) .
---
f ' (x) = (-x³ + 3x² + 9x +2 ) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' =
(-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = -3x² +3*(x²) ' +9*(x) ' + 0 =
- 3x² +3*2x +9*1 = - 3(x² -2x -3) = - 3 (x+1)(x - 3).
* * * x² -2x -3= x² -2x -3 =(x² + x) - (3x +3) =x(x + 1) - 3(x +1) =(x+1)(x-3) * * *
f ' (x) =0 ;
-3(x+1)(x-3) =0 ; * * * [ x+1 =0 ; x-3 =0 * * *
x₁ = -1 ;
x₂ = 3 .
Следовательно критические точки функции : - 1 и 3.
-----------------------
2.
Если производная функции в критической точке
a) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;
b) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;
c) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
f ' (x) = - 3 (x+1)(x-3)
f ' (x) " - " " + " " - "
---------------------------- (-1) ---------------------------( 3) -----------------------
f(x) убывает (↓) min возрастает(↑) max убывает (↓)
(точками экстремума : x = -1 ; x = 3)
x = -1 является точкой минимума
x = 3 _точкой максимума
f(-1) = -(-1)³ + 3*(-1)² + 9*(-1) +2 =1 +3 -9+2 = - 3 ;
f(3) = -3³ +3*3² +9*3 +2 = -27+27 +27 +2 =29 .
(экстремумами функции : -3 и 29 .)
min ( f(x) ) = f(-1) = - 3 ;
max( f(x) ) = f(3) = 29 .
-----------------------
Удачи !