Помогите!!!! Sin2x-5sinx+5cosx+5=0

Question 1

Помогите!!!!
Sin2x-5sinx+5cosx+5=0

Question 2

$\displaystyle sin2x-5sinx+5cosx+5=0\\\\ 2sinx*cosx-5(sinx- cosx)+5=0$

введем новую переменную

$\displaystyle sinx-cosx=t\\\\(sinx-cosx)^2=t^2\\\\sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=t^2\\\\1-2sinx*cosx=t^2\\\\2sinx*cosx=1-t^2$

теперь выполним замену переменной

$\displaystyle 1-t^2-5t+5=0\\\\-t^2-5t+6=0\\\\t^2+5t-6=0\\\\D=25+24=49\\\\t_{1.2}= \frac{-5\pm 7}{2}\\\\t_1=-6: t_2=1$

теперь делаем обратную замену

$\displaystyle sinx-cosx=-6\\\\-1 \leq sinx \leq 1; -1 \leq cosx \leq 1$

решений нет

$\displaystyle sinx-cosx=1$

решу аналитическим способом
такое равенство возможно в двух случаях
$\displaystyle \left \{ {{sinx=1} \atop {cosx=0}} \right. ; \left \{ {{sinx=0} \atop {cosx=-1}} \right.\\\\\ \left \{ {x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z} \atop {x= \frac{ \pi }{2}+\pi k; k\in Z}} \right. ; \left \{ {{x= \pi n; n\in Z} \atop {x= \pi +2 \pi k; k\in Z}} \right.$

Значит ответом будет
$\displaystyle x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z; x= \pi +2 \pi k; k\in Z$

можно решить алгебраически

$\displaystyle sinx-cosx=1\\\\ \frac{ \sqrt{2}}{2}sinx- \frac{ \sqrt{2}}{2}cosx= \frac{ \sqrt{2}}{2}\\\\cos( \frac{ \pi }{4})*sinx-sin \frac{ \pi }{4}*cosx= \frac{ \sqrt{2}}{2}\\\\ sin(x- \frac{ \pi }{4})= \frac{ \sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4}+2 \pi n; n\in Z; x- \frac{ \pi }{4}= \frac{3 \pi }{4}+2 \pi k; k\in Z\\\\x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z; x= \pi +2 \pi k; k\in Z$

Видим что ответы такие же.

hote_zn · Answer 1 · 2018-05-13T11:48:00+0000

$\displaystyle sin2x-5sinx+5cosx+5=0\\\\ 2sinx*cosx-5(sinx- cosx)+5=0$

введем новую переменную

$\displaystyle sinx-cosx=t\\\\(sinx-cosx)^2=t^2\\\\sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=t^2\\\\1-2sinx*cosx=t^2\\\\2sinx*cosx=1-t^2$

теперь выполним замену переменной

$\displaystyle 1-t^2-5t+5=0\\\\-t^2-5t+6=0\\\\t^2+5t-6=0\\\\D=25+24=49\\\\t_{1.2}= \frac{-5\pm 7}{2}\\\\t_1=-6: t_2=1$

теперь делаем обратную замену

$\displaystyle sinx-cosx=-6\\\\-1 \leq sinx \leq 1; -1 \leq cosx \leq 1$

решений нет

$\displaystyle sinx-cosx=1$

решу аналитическим способом
такое равенство возможно в двух случаях
$\displaystyle \left \{ {{sinx=1} \atop {cosx=0}} \right. ; \left \{ {{sinx=0} \atop {cosx=-1}} \right.\\\\\ \left \{ {x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z} \atop {x= \frac{ \pi }{2}+\pi k; k\in Z}} \right. ; \left \{ {{x= \pi n; n\in Z} \atop {x= \pi +2 \pi k; k\in Z}} \right.$

Значит ответом будет
$\displaystyle x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z; x= \pi +2 \pi k; k\in Z$

можно решить алгебраически

$\displaystyle sinx-cosx=1\\\\ \frac{ \sqrt{2}}{2}sinx- \frac{ \sqrt{2}}{2}cosx= \frac{ \sqrt{2}}{2}\\\\cos( \frac{ \pi }{4})*sinx-sin \frac{ \pi }{4}*cosx= \frac{ \sqrt{2}}{2}\\\\ sin(x- \frac{ \pi }{4})= \frac{ \sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4}+2 \pi n; n\in Z; x- \frac{ \pi }{4}= \frac{3 \pi }{4}+2 \pi k; k\in Z\\\\x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z; x= \pi +2 \pi k; k\in Z$

Видим что ответы такие же.