В прямоугольном треугольнике ABC угол B=90 градусов, BO-высота треугольника, AB= 12 см,...

1) т.к. В=45 следует В=А=45 следует треугольник равнобедренный

2) по синусу угла B найдём АВ

sin B= 4 корень 2 /АВ

АВ = 8 см.

3) AC=CB=4 корень 2

S=1/2AC *CB= 1/2*(4 корень 2)^2=32/2=16

4) медиана является высотой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике!

тр. АНС прямоугольный

СН^2 = CA^2-AH^2 = 32-16 = 16

СН(медиана) = 4

Ответ: S=16

CH = 4

Рассмотрим рисунок
свойство биссектрисы угла треугольника

Вспомним свойство биссектрисы треугольника : биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
AOOB=ACCB
подставим в формулу значения и получим ACCB=45=>AC=45CB эта формула дала нам связь между катетами, найдем их, а зная катеты найдем площадь прямоугольного треугольника. Катеты найдем по формуле Пифагора