Прямоугольник наибольшей площади, вписанный в полукруг - это 1/2 квадрата, вписанного в круг радиуса R. Диагонали этого прямоугольника также равны R, и перпендикулярны.
Длина большей стороны прямоугольника по теореме Пифагора есть (R^2+R^2)^1/2.
Длина меньшей стороны прямоугольника по той же теореме равна катету равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой R, т. е. (1/2*R^2)^1/2.
Таким образом, периметр прямоугольника P= 2(2R^2)^1/2+2(1/2*R^2)^1/2