Вычислить определенный интеграл

$\int\limits^{\pi/4}_0 { \dfrac{x}{\cos^2x} } \, dx$

Находим неопределенный интеграл. Интегрируем по частям:
$\int\limits {u} \, dv=uv- \int\limits {v} \, du \\\\ u=x \Rightarrow du=dx \\\\ dv= \dfrac{dx}{\cos^2x} \Rightarrow v=\mathrm{tg}x$

$\int\limits { \dfrac{x}{\cos^2x} } \, dx=x\mathrm{tg}x- \int\limits {\mathrm{tg}x} \, dx =x\mathrm{tg}x- \int\limits { \dfrac{\sin x}{\cos x} } \, dx = \\\ =x\mathrm{tg}x- \left(-\int\limits { \dfrac{d(\cos x)}{\cos x} } \right)= x\mathrm{tg}x+\ln|\cos x|+C$

Находим определенный интеграл:
$\int\limits^{\pi/4}_0 { \dfrac{x}{\cos^2x} } \, dx=\left(x\mathrm{tg}x+\ln|\cos x|\right)|^{\pi/4}_0= \\\ =\left( \frac{ \pi }{4} \cdot\mathrm{tg} \frac{ \pi }{4} +\ln|\cos \frac{ \pi }{4} |\right)-\left(0\cdot\mathrm{tg}0+\ln|\cos 0|\right)= \\\ =\left( \frac{ \pi }{4} \cdot1 +\ln\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)-\ln1=\frac{ \pi }{4} +\ln\frac{ \sqrt{2} }{2}$