Помогите решить данное неравенство.. Вопрос возник , вот например, (log2(2x))^2 тоже...

Question 1

Помогите решить данное неравенство.. Вопрос возник , вот например, (log2(2x))^2 тоже самое что и log2^2(2x)?

Question 2

$\sqrt{(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}}\ \textless \ \sqrt2(4-log_{16}16x^4)\\OD3:\begin{cases}x\ \textgreater \ 0\\(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\geq0\end{cases}\\(log_22x)^2+2log_22x=0\\log_22x(log_22x+2)=0\\log_22x=0\ \ \ \ \ \ log_22x+2=0\\2x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x=\frac{1}{4}\\x=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{8}$

(0)//////////////////////////>x
///////[1/8]....[1/2]/////>x
$x\in(0;\frac{1}{8}]\cup[\frac{1}{2};+\infty)$

Рассматриваем равносильную систему:
$\begin{cases}1)(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\geq0\\2)\sqrt2(4-log_{16}16x^4)\ \textgreater \ 0\\3)(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\ \textless \ (\sqrt2(4-log_{16}16x^4))^2\end{cases}\\1)(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\geq0\\(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}=0\\(log_22x)^2+2log_22x=0\\log_22x(log_22x+2)=0\\log_22x_1=0\ \ \ \ log_22x_2=-2\\2x_1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_2=\frac{1}{4}\\x_1=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1}{8}$
$OD3:x\neq0\\2)\sqrt2(4-log_{16}16x^4)\ \textgreater \ 0\\2)\sqrt2(4-log_{16}16x^4)=0\\4-log_{16}16x^4=0\\4-log_{16}16x^4=0\\log_{16}16x^4=4\\16x^4=16^4\\2x=^+_-16\\x=^+_-8$
$3)\sqrt{(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}}\ \textless \ \sqrt2(4-log_{16}16x^4)\\(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\ \textless \ 2(4-log_{16}16x^4)^2\\(log_22x)^2+2log_22x\ \textless \ 32-16log_{2}2x+2(log_{2}2x)^2\\log_22x-18log_22x+32\ \textgreater \ 0\\log_22x-18log_22x+32=0\\log_22x_{1,2}=9^+_-7\\log_22x_1=16\ \ \ \ \ \ \ \ log_22x=2\\2x_1=65536\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_2=4\\x_1=32768\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=2$
1)///////////////////////////[1/8] [1/2]////////////////////////////////////////>x
2) (-8)////////(0)//////////////////////////////////(8) >x
3)//////////////////////////////////////////////////////(2) (32768)//////>x
ОД3: (0)//[1/8] [1/2]////////////////////////////////////////>x
$OTBET:x\in(0;\frac{1}{8}]\cup[\frac{1}{2};2)$

Alexаndr_zn · Answer 1 · 2018-05-13T09:43:19+0000

$\sqrt{(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}}\ \textless \ \sqrt2(4-log_{16}16x^4)\\OD3:\begin{cases}x\ \textgreater \ 0\\(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\geq0\end{cases}\\(log_22x)^2+2log_22x=0\\log_22x(log_22x+2)=0\\log_22x=0\ \ \ \ \ \ log_22x+2=0\\2x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x=\frac{1}{4}\\x=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{8}$

(0)//////////////////////////>x
///////[1/8]....[1/2]/////>x
$x\in(0;\frac{1}{8}]\cup[\frac{1}{2};+\infty)$

Рассматриваем равносильную систему:
$\begin{cases}1)(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\geq0\\2)\sqrt2(4-log_{16}16x^4)\ \textgreater \ 0\\3)(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\ \textless \ (\sqrt2(4-log_{16}16x^4))^2\end{cases}\\1)(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\geq0\\(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}=0\\(log_22x)^2+2log_22x=0\\log_22x(log_22x+2)=0\\log_22x_1=0\ \ \ \ log_22x_2=-2\\2x_1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_2=\frac{1}{4}\\x_1=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1}{8}$
$OD3:x\neq0\\2)\sqrt2(4-log_{16}16x^4)\ \textgreater \ 0\\2)\sqrt2(4-log_{16}16x^4)=0\\4-log_{16}16x^4=0\\4-log_{16}16x^4=0\\log_{16}16x^4=4\\16x^4=16^4\\2x=^+_-16\\x=^+_-8$
$3)\sqrt{(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}}\ \textless \ \sqrt2(4-log_{16}16x^4)\\(log_\frac{1}{2}2x)^2+4log_2\sqrt{2x}\ \textless \ 2(4-log_{16}16x^4)^2\\(log_22x)^2+2log_22x\ \textless \ 32-16log_{2}2x+2(log_{2}2x)^2\\log_22x-18log_22x+32\ \textgreater \ 0\\log_22x-18log_22x+32=0\\log_22x_{1,2}=9^+_-7\\log_22x_1=16\ \ \ \ \ \ \ \ log_22x=2\\2x_1=65536\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_2=4\\x_1=32768\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=2$
1)///////////////////////////[1/8] [1/2]////////////////////////////////////////>x
2) (-8)////////(0)//////////////////////////////////(8) >x
3)//////////////////////////////////////////////////////(2) (32768)//////>x
ОД3: (0)//[1/8] [1/2]////////////////////////////////////////>x
$OTBET:x\in(0;\frac{1}{8}]\cup[\frac{1}{2};2)$