Длина и ширина помещения прямоугольной формы выражаются целыми числами метров. Численное...

Question

Длина и ширина помещения прямоугольной формы выражаются целыми числами метров. Численное значение его периметра (в м) отличается от численного значения площади (в м2) на целое число. 1) Каковы размеры помещения, если численное значение его периметра (в м) отличается от численного значения площади (в м2) на 7? 2) Каковы размеры помещения, если его длина в 3 раза больше ширины и периметр больше площади? 3) При каких размерах помещения его периметр больше площади, если выполнены условия задания и ширина больше 2 м?

Answer 1

Размеры помещения а м и b м. Площадь S = ab. Периметр P = 2a + 2b.
Считается, что длина не меньше ширины, ищем решения a >= b.
1) Здесь возможно два случая.
а) P > S. P - S = 7
2a + 2b - ab = 7
2a - 7 = b(a - 2)
b = (2a - 7)/(a - 2)
Варианты: (a = 1; b = 5); (3; -1); (4; 1/2); (5; 1).
Решение: (a=5; b=1). Других решений нет. b =/= 2 ни при каких а.
б) S > P. S - P = 7
ab - 2a - 2b = 7
b(a - 2) = 7 + 2a
b = (2a + 7)/(a - 2)
Варианты: (a = 1; b = -9); (3; 13); (4; 15/2); (5; 17/3); (6; 19/4); (7; 21/5);
(8; 23/6); (9; 25/7); (10; 27/8); (11; 29/9); (12; 31/10); (13; 3).
Решения: (a=13; b=3). Других решений нет, b =/= 2 ни при каких а.
Ответ: (5; 1); (13; 3)

2) a = 3b; P > S
P = 2a + 2b = 2*3b + 2b = 8b. S = ab = 3b*b = 3b^2
8b > 3b^2
3b < 8
b < 8/3 < 3
Варианты: (b = 1; a = 3); (b = 2; a = 6)
Ответ: (3; 1); (6; 2)

3) b > 2; P > S
2a + 2b > ab
2b > ab - 2a
a(b - 2) < 2b
a < 2b/(b - 2)
Если b > 2; то наименьшее целое b = 3
Если b = 3, то a < 2*3/(3 - 2) = 6. Решения: (3; 3); (4; 3); (5; 3)
Если b = 4, то a < 2*4/(4 - 2) = 4. a < b, решений нет.
Если b = 5, то a < 2*5/3 = 10/3. a < b, решений нет.
Другие решения искать смысла нет, а будет еще меньше.
Ответ: (3; 3); (4; 3); (5; 3)