Составим уравнение
![87_{10}=ab2_n, \ a \in [1..n-1], \, b \in[0..n-1], \, a,b \in \mathbb N](https://tex.z-dn.net/?f=87_%7B10%7D%3Dab2_n%2C+%5C+a+%5Cin+%5B1..n-1%5D%2C+%5C%2C+b++%5Cin%5B0..n-1%5D%2C+%5C%2C+a%2Cb+%5Cin+%5Cmathbb+N "87_{10}=ab2_n, \ a \in [1..n-1], \, b \in[0..n-1], \, a,b \in \mathbb N")
Воспользуемся расширенной записью числа
87=an²+bn+2 → an²+bn-85=0
Известно, что если многочлен с целочисленными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень, то он находится среди делителей свободного члена. Нас интересуют только натуральные делители, большие 2, поскольку n - основание системы счисления и в этой системе имеется цифра 2.
85 = 5 × 17. Число 17 не подходит, потому что 17>10 и двухзначное десятичное число в системе счисления с основанием, большим 10, не может иметь в записи больше двух знаков. Следовательно, n=5.
Для проверки переводим 87 в систему счисления по основанию 5.
87 / 5 = 17, остаток 2
17 / 5 = 3, остаток 2
3 / 5 = 0, остаток 3.
Выписываем остатки в обратном порядке: 322
87₁₀ = 322₅ - в числе три разряда и оно оканчивается двойкой.
Ответ: N=5