Помогите пожалуйста)) Тема: Интегрирование по частям хоть один плз

Question 1

Помогите пожалуйста)) Тема: Интегрирование по частям
хоть один плз

Question 2

Решите задачу:

$5)\; \; \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0sinx\cdot cos^2x\, dx=[\; t=cosx\; ,\; dt=-sinx\, dx\; ,\; t_1=cos0=1\; ,\\\\t_2=cos\frac{\pi}{2}=0]=-\int\limits^0_1t^2\, dt=-\frac{t^3}{3}|_1^0=-\frac{1}{3}(0^3-1^3)=\frac{1}{3}\; ;\\\\6)\; \; \int\limits^{\sqrt{a}}_0 {x^2\sqrt{a-x^2}} \, dx =[\; x=\sqrt{a}\cdot sint\; ,\; dx=\sqrt{a}\cdot cost\, dt\; ,\\\\t=arcsin\frac{x}{\sqrt{a}}\; ,\; t_1=0\; ,t_2=arcsin1=\frac{\pi}{2}\; ]=$

$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {a\cdot sin^2t\sqrt{a-asin^2t}} \cdot \sqrt{a}\cdot cost\, dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, asin^2t\cdot \sqrt{a\cdot cos^2t}\cdot \sqrt{a}\cdot cost\, dt=$

$=a^2 \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\\\\=[\; sint\cdot cost=\frac{1}{2}sin2t\; ]=a^2 \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\; \frac{1}{4}sin^22t\; dt=\\\\=\frac{a^2}{4} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1-cos4t}{2} dt= \frac{a^2}{8} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0(1-cos4t)dt= \frac{a^2}{8}(t-\frac{1}{4}sin4t)|_0^{\frac{\pi}{2}}=\\\\= \frac{a^2}{8}(\frac{\pi}{2}- \frac{1}{4}sin\pi )=\frac{a^2}{8}(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{\pi a^2}{16}$

$8)\; \; \int _0^1\sqrt{1+x^2}dx\; ;$

$A=\int \sqrt{1+x^2}dx=\int \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} +\int \frac{x\cdot x\, dx}{\sqrt{1+x^2}} =\\\\=ln|x+\sqrt{1+x^2}|+[\, u=x\; ,du=dx\; ,\; dv=\frac{x\, dx}{\sqrt{1+x^2}}\; ,\\\\v=\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{dz}{\sqrt{z}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{z}=\sqrt{z}=\sqrt{1+x^2}\; ]=\\\\=ln|x+\sqrt{1+x^2}|+x\cdot \sqrt{1+x^2}\underbrace{-\int \sqrt{1+x^2}dx}_{-A}\; ;\\\\A=ln|x+\sqrt{1+x^2}|+x\cdot \sqrt{1+x^2}-A\; ;\\\\2A=2\cdot \int \sqrt{1+x^2}dx=ln|x+\sqrt{1+x^2}|+x\cdot \sqrt{1+x^2}\; ;$

$A=\int \sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot \Big (ln|x+\sqrt{1+x^2}|+x\cdot \sqrt{1+x^2}\Big )\\\\\\\int \limits _0^1\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot \Big (ln|x+\sqrt{1+x^2}|+x\cdot \sqrt{1+x^2}\Big)\Big |_0^1=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big (ln|1+\sqrt2|+1\cdot \sqrt2-ln|0+1|-0\Big )=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big (\sqrt2+ln(1+\sqrt2)\Big )=\frac{\sqrt2+ln(1+\sqrt2)}{2}\; ;$

Question 3

.......................