5y''-y'=0 y(0)=1; y'(0)=-2

Применим метод Эйлера
Пусть $y=e^{kx}$ , получаем

$5k^2-k=0$ - характеристическое уравнение.

$k(5k-1)=0\\ k_1=0\\ k_2= \frac{1}{5}$

Общее решение будет иметь вид
$y=y_1+y_2=C_1e^{0\cdot x}+C_2e^{\frac{1}{5} x}=C_1+C_2e^{\frac{1}{5} x}$

$y'=(C_1+C_2e^{\frac{1}{5} x})'= \dfrac{C_2e^\big{\frac{x}{5} }}{5}$

Воспользуемся начальными условиями.
$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2e^{0}=1} \atop {\dfrac{C_2e^{0 }}{5} =-2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {C_2=-10}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_1=11} \atop {C_2=-10}} \right.$

$y=11-10e^\big{ \frac{x}{5} }$