НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

Формула: $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin (x\pm \arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$

Упростим нашу функцию:
$y= \sqrt[3]{ \sqrt{3^2+2^2} \sin (x+\arcsin \frac{2}{ \sqrt{3^2+2^2} })- \sqrt{13} +27 } =\\ \\ = \sqrt[3]{\sqrt{13}\sin(x+\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}})-\sqrt{13}+27 }$

Область значений $\sin x$ - промежуток $[-1;1]$

Оценим в виде двойного неравенства:

$-1 \leq \sin (x+\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}} ) \leq 1$
Умножим почленно неравенство на $\sqrt{13}$
$-\sqrt{13} \leq \sqrt{13}\sin(x+\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}} ) \leq \sqrt{13}\,\,\,|-\sqrt{13}+27$

$-2\sqrt{13}+27 \leq \sqrt{13}\sin(x+\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}})-\sqrt{13} +27 \leq 27$

Возведем неравенство в степень $\dfrac{1}{3}$

$\sqrt[3]{-2\sqrt{13}+27} \leq \sqrt[3]{\sqrt{13}\sin(x+\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}})-\sqrt{13}+27 } \leq 3$

Область значений данной функции: $E(y)=[ \sqrt[3]{-2\sqrt{13}+27}\, ;3]$

Наибольшее значение: $3.$