В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром...

Question

100 просмотров

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
;Желательно не только ответ,но и решение

Геометрия Daiil34_zn (20 баллов) 13 Май, 18 | 100 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$OH \perp AC , \ OH=3 \\ OE \perp AD , \ AD=4$    , заметим что $OH= r$ радиус вписанной окружности , так как $AO$ это биссектриса угла $BAC$ , $AH = \sqrt{AO^2-OH^2} = \sqrt{5^2-3^2}=4$ , найдя $\angle BAC = 2OAH = 2 arcsin(\dfrac{3}{5})$ , треугольники    $AOH , AOE$ равны по общей гипотенузе и катетам $OE= AH = 4$ значит $\angle HOA = \angle AOE$ ( вписанная равнобедренная трапеция $AOHE$ ) , получаем
$\angle CAD = \angle BCA = \angle OAE - \angle OAH = arcsin(\dfrac{4}{5} ) - arcsin(\dfrac{3}{5})$ или $\angle BCA = 2arcsin( \dfrac{4}{5})-90^{\circ}$ , положим что $F$ точка касания вписанной окружности со стороной $AB$ , найдем
$CH = 3 \cdot ctg( \dfrac{\angle BCA}{2}) = 3 \cdot ctg(arcsin(\dfrac{4}{5}) - 45^{\circ}) = 3 \cdot 7 = 21 \\ FB = 3 \cdot ctg(\dfrac{90^{\circ}-arcsin(\dfrac{4}{5})}{2}) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
Тогда
$AB = AF+FB = 4+\dfrac{3}{2} = \dfrac{11}{2} \\ AC = AH + CH = 4+21 = 25 \\ BC= CH + BF = 21+\dfrac{3}{2} = \dfrac{45}{2} \\ S_{ABCD} = 2S_{ABC} = AB \cdot AC \cdot sin \angle BAC = \dfrac{275}{2 } \cdot sin(2arcsin\dfrac{3}{5}) = \\ \dfrac{275}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = 132$