Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Определите интервалы непре-рывности, пределы...

Question 1

Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Определите интервалы непре-рывности, пределы функции на границах области определения (-oo; +oo) . Совместите с определением наклонных асимптот
y= (x^2 + 2x +4) / (x+2)

Question 2

Здесь вертикальные асимптоты - это линии x = a, при которых знаменатель равен 0. В данном случае x = -2.
Наклонная или горизонтальная асимптота - это прямая f(x) = kx + b,
где коэффициенты k и b определяются пределами:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} =\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+4}{x(x+2)} =\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+4}{x^2+2x} =1$
$b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-k*x)=\lim_{x \to \infty} ( \frac{x^2+2x+4}{x+2} -1*x)=$
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+4-x(x+2)}{x+2}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+4-x^2-2x}{x+2}=\lim_{x \to \infty} \frac{4}{x+2}=0$
Получаем наклонную асимптоту f(x) = 1x + 0 = x
Если бы было k = 0, то асимптота была бы горизонтальной: f(x) = b.

Question 3

А точка разрыва в данном случае тоже будет: -2? Чем вертикальные асимптоты отличаются от точек разрыва?

Question 4

Да, точка разрыва тоже -2. Верт. асимптоты и есть в точках неустранимого разрыва 2 рода.

Question 5

В точках устранимого разрыва и неустранимого 1 рода вертикальных асимптот нет. Но в этой функции и нет таких разрывов.

Question 6

Если вы забыли, устранимый разрыв - это прокол, неустранимый 1 рода - это скачок, когда значения в пределах справа и слева - разные. У нас этого нет.

Question 7

Неустранимый 2 рода - это уход в бесконечность, это как раз наш случай. И в этом случае есть верт. асимптота.

Question 8

Спасибо, очень помогли