Решить подробно и ** листочке. В правильном тетраэдре h-высота, m-ребро, n-расстояние...

Question

Решить подробно и на листочке.
В правильном тетраэдре h-высота, m-ребро, n-расстояние между центрами его граней. Выразите а) m через h б) n через m
Решение из иных источников писать не надо!

Comments

а) m=корень из 6 * m/2* h б) n=1/3m

Answer 1

Правильный тетраэдр - треугольная пирамида, все грани которой правильные треугольники. 

Обозначим пирамиду МАВС, центры eё граней E,P,T.

Основание О высоты МО пирамиды - центр описанной (и вписанной) окружности равностороннего ∆ АВС. 

а)Выразить m через h.

АО - радиус описанной окружности. 

Формула R=m/√3

MO²=АМ²-АО²

h²=m²-m²/3

2m²=3h

m=h√(3/2)=(h√6)/2

б) Выразить n через m.

Центр правильного треугольника - точка пересечения его медиан. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. В таком же отношении делятся ребра пирамиды. 

МТ:ТН=2:1, Mc:MC=2:3; ⇒ cb:CB=2:3

Центры граней лежат в  плоскости, параллельной основанию АВС и образующей в сечении треугольник abc~АВС с коэффициентом подобия k=2/3. ab=bc=ac-=2/3m

Расстояния между центрами граней - стороны треугольника, образованного при соединении центров граней, ∆ abc~ ∆ РТЕ  с k=1/2.  

n=ab/2=1/2•(2/3)m

n=m/3. 

---

Comments

Через центр граней параллельно АВС. А центры, как об этом сказано, - точки пересечения медиан треугольника. Поэтому отношение МN:NT=2:1, следовательно отношение cb:CB равно отношению всей высоты к МТ, т.е. cb:CB=3:2

---

n-это что такое?) Это же расстояние между центрами его граней

---

Буквы перепутала. n - это расстояние между центрами граней, поэтому является длиной сторон треугольника РЕТ, стороны эти соединяют центры боковых граней пирамиды. РЕ=ТЕ=ТР=n.

---

Хорошо, а можно объяснить почему k=1/2?

---

k =1/2– это коэффициент подобия треугольников. РЕТ и abc. Ведь точки Р, Е и Т - середины сторон треугольника abc. РЕ||cb; ET||AC и PT||ab. А средняя линия треугольника равна половине стороны, которой параллельна. Поэтому стороны ∆РЕТ относятся к сторонам abc как 1:2. Надеюсь, теперь понятно.

---

То есть PT-средняя линия треугольника авс?

---

Рассмотрите рисунок. В ∆abc три средних линии ( как в любом треугольники можно провести, если нужно, три средних линии). Здесь построены все три, и их длина является расстоянием между центрами граней. Как Вы знаете, расстоянием между двумя точками является длина отрезка, который их соединяет. ,

---

Спасибо огромное!!! Теперь мне все ясно, извините, если я задавал глупые для вас вопросы.

---

Задавайте. Главное, понять, как решалось