Есть 12 карточек, ** каждой написана одна ненулевая цифра. Известно, что из этих карточек...

Question

Есть 12 карточек, на каждой написана одна ненулевая цифра. Известно, что из этих карточек можно составить два шестизначных числа, сумма которых равна 1099999. Докажите, что из этих карточек можно составить два шестизначных числа, сумма которых равна одному миллиону.

Answer 1

Обозначим за a1,a2,...,a6 цифры первого шестизначного числа и за b1,b2,...,b6 цифры второго шестизначного числа. Из условия следует, что сумма цифр a6 и b6 (стоящих в самом правом разряде) оканчивается на 9. Поскольку a6<=9 и b6<=9, тогда a6+b6=9. Аналогично, сумма a5+b5 оканчивается на 9. Поскольку a6+b6=9, перехода через разряд нет и a5+b5=9. Аналогично, a4+b4=9, a3+b3=9, a2+b2=9, a1+b1=10. Тогда переставим цифру a1 в конец первого числа, а цифру b1 переставим в конец второго числа. Тогда сумма чисел a2a3a4a5a6a1 и b2b3b4b5b6b1 равна миллиону.