. Исследовать
функцию с помощью производной и построить ее график: y = x4 - 4x
Для решения задачи
используем схему исследования функции и алгоритм нахождения промежутков
монотонности и экстремумов функции:
Схема исследования функции для построения графика.
1. Найти область определения функции.2. Найти точки пересечения графика
функции с осями координат (если это возможно).3. Исследовать функцию на чётность и
нечётность.4. Найти интервалы монотонности и
экстремумы функции.5. Отметить «сигнальные» точки в ПСК.6. Построить график функции.
Алгоритм нахождения промежутков монотонности и
экстремумов функции.
1. Найти производную функции у’ .
2. Найти критические точки, решив уравнение у’ = 0.
3. Область определения функции разбить критическими
точками на интервалы.
4. Определить знак производной в каждом интервале
(методом проб).
5. Сделать вывод о монотонности функции на
интервале:
·
если у’ > 0, то функция на интервале возрастает;·
если у’ <<span> 0, то функция на интервале убывает;·
если у’ = 0, то
необходимы дополнительные исследования.
6. Сделать вывод о существовании экстремумов:
·
если при переходе через
критическую точку производная меняет знак с «+» на «-», то в этой точке функция имеет максимум;·
если при переходе через
критическую точку производная
меняет знак с «-» на «+», то в
этой точке функция имеет минимум;·
если при переходе через
критическую точку производная не меняет, то в этой точке функция не имеет экстремума.7. Вычислить значения функции в точках экстремума.Решение.1. Функция y = x4 - 32x представляет собой многочлен,
следовательно ее область определения – вся числовая прямая. D(y) = (-)/2.
Найдем
точки пересечения графика с осями координат.·
С
осью OX: y=0 x4 - 4x = 0 x (x3 - 4) = 0 x1 = 0,
x 2 = 1,6
точки М1 (0;0), М2 (1,6; 0)·
С
осью OY: x = 0 .
Точка М1 (0;0).3. Функция ни четная, ни нечетная
(переменная х имеет и четную и нечетную степень в выражении функции), т.е.
функция общего вида. Следовательно, график функции не имеет симметрии
относительно осей координат и начала системы координат.4. Найдем интервалы монотонности и
экстремумы функции.
y' = 4x3 – 4, y’ = 0 4x3 – 4= 0 x = 1–
критическая точка. - 1 + min
Определим знак производной в каждом
интервале: y’(0) = -4 <0 <span>функция убывает в интервале (-; 1) y’(2) = 28
>0 функция возрастает в интервале (1; ).
Вычислим
значение функции в точке экстремума: y(1) = 13
– 4*1 = -3 M3(1;-3)
– min.5. Отметим найденные точки и
построим график функции.