39.27. Sabc=√3.
Sabc=(1/2)*AC*BH.
BH=(1/2)*BC (катет против угла 30°.
По Пифагору:
ВН²=ВС²-НС² или 4ВН²-ВН²=НС² или НС=ВН√3.
АС=2ВН√3.
Итак, (1/2)*2ВН²√3=√3 или ВН=1.
So=πR²=π(√3)²=3π
V=(1/3)*So*BH=(1/3)*3π*1=π.
Ответ: V/π=1.
39.28. Sбок=10см². Это круговой сектор с центральным углом 36° и радиусом, равным образующей конуса L. Формула площади сектора: S=πR²α/360°, отсюда
R=L=10/√π. С другой стороны, боковая поверхность конуса равна Sбок=πrL, где r - радиус основания конуса. Тогда 10см²=πr10/√π или r=√π/π. Тогда So=πr² или So=π*(√π/π)²=1см². Sполн=Sбок+So=11см².
39.29. Развертка боковой поверхности конуса - это круговой сектор с центральным углом 120° и радиусом, равным образующей конуса L. Формула площади сектора: S=πR²α/360°, отсюда S=πL²/3. С другой стороны, боковая поверхность конуса равна Sбок=πrL, где r - радиус основания конуса. Тогда
πrL=πL²/3, отсюда L=3r. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания (катеты) и образующей конуса (гипотенуза) по Пифагору имеем: 36=9r²-r², отсюда r=3√2/2.
Объум конуса равен (1/3)So*h или
V=(1/3)πr²*6=2π(3√2/2)²=9π.
Ответ: V/π=9.
39.30. V=2*V1, где V1- объем конуса с образующей, равной стороне ромба (1) и углом между образующей и основанием, равным половине острого угла ромба. Если острый угол равен 60°, то квадрат радиуса основания конуса (половина большой диагонали) равен по Пифагору r²=1-(0,5)²=0,75. Тогда V=2*(1/3)*π*0,75*0,5=0,25π.
Ответ: V/π=0,25.
39.31. При вращении образуется фигура, площадь которой равна сумме площадей боковых поверхностей двух равных конусов с образующей a, равной стороне ромба и радиусом основания, равной h - высоте ромба и площади боковой поверхности цилиндра с радиусом основания, равным высоте ромба h и высотой цилиндра, равной стороне ромба а. То есть S=2*π*a*h + 2πa*h=4π*a*h. Но а*h=Q (дано).
Значит S=4πQ.
Ответ: S/πQ=4.
