СРОЧНО В прямоугольном треугольнике один из катетов а, острый противолежащий угол а....

Дано:
Катет a
Противолежащий угол α

Найти: Катет b, гипотенузу c

Решение.
Напишем теорему синусов, из которой выразим второй катет и гипотенузу:
$\frac{a}{sin \alpha } = \frac{b}{sin \beta } = \frac{c}{sin \gamma }$

Начнём со второго катета b.
Ему противолежащий угол - β. Выразим этот угол через угол α.
β = 90° - α
Подставим в формулу:
$\frac{a}{sin \alpha } = \frac{b}{sin ( 90° - \alpha )}$

Теперь по формуле приведения:
sin (90° - α) = cos α
Подставим в формулу:
$\frac{a}{sin \alpha } = \frac{b}{cos \alpha }$
Теперь выразим b из этой формулы. Получится:
$b = \frac{a * cos \alpha }{sin \alpha}$

То же самое проделаем с гипотенузой. Угол, лежащий против гипотенуза = 90°.
sin 90° = 1.
$\frac{a}{sin \alpha } = \frac{c}{sin \gamma }$
$\frac{a}{sin \alpha } = \frac{c}{sin 90 }$
$\frac{a}{sin \alpha } = \frac{c}{1}$
$\frac{a}{sin \alpha } = с$
$с = \frac{a}{sin \alpha }$

Вот и всё :)