Решите неравенство

0 голосов
22 просмотров

Решите неравенство \frac{3-x- \sqrt{5-x^2} }{cos \frac{2x-7}{4} -cos \frac{x-5}{4} } \geq 0

Алгебра (1.3k баллов) | 22 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

ОДЗ (к счастью) не так уж и велика...
для иррационального неравенства правая часть окажется на ОДЗ положительной, т.е. обе части неравенства можно будет возвести в квадрат... и для получившихся значений (х) в числителе "посмотреть" знаки синусов из знаменателя...

(236k баллов)
0 голосов
\frac{3-x- \sqrt{5-xв} }{cos \frac{2x-7}{4} -cos \frac{x-5}{4} } =\frac{3-x- \sqrt{5-xв} }{-2sin \frac{2x-7+x-5}{8} sin \frac{2x-7-x+5}{8}}=\frac{3-x- \sqrt{5-xв} }{-2sin \frac{3x-12}{8} sin \frac{x-2}{8}}

Формула замены:(f-\sqrt{g}) ↔ (f ²- g)(f² + g), g ≥ 0;  f = 3-x, g = 5-x²
3-x- \sqrt{ 5-xв} ↔ ((3-x)² - 5-x²)((3-x)² + 5-x²), 5-x²≥0;
(9 - 6x + x² - 5 + x²)(9 - 6x + x² + 5 - x²), -x² ≥ -5;
(2x² - 6x + 4)(-6x + 14), -x² ≥ -5;
(x² - 3x + 2)(-3x + 7), x² ≤ 5;
(x - 1)(x - 2)(-3x + 7), -√5 ≤ x ≤ √5;

x>0: (-∞; 1)∪(2; 7/3)

Рассмотрим sin\frac{3x-12}{8}:
sin...>0 при ...∈(-2π;-π)∪(0;π)∪(2π;3π)
sin...>0 при ...∈(0 + 2πn; π + 2πn), n ∈ Z
\frac{3x-12}{8}∈(0 + 2πn; π + 2πn), n ∈ Z;
3x - 12 ∈ (0 + 16πn; 8π + 16πn), n ∈ Z; (проще неравенством)
0 + 16πn < 3x - 12 < 8π + 16πn;<br>12 + 16πn < 3x < 12 + 8π + 16πn;<br>4 + (16/3)πn < x < 4 + (8/3)π + (16/3)πn;

4 + (16/3)πn ≈ -12,75 или 4 или 20,75 (n = -1, 0, 1)
4 + (8/3)π + (16/3)πn ≈ 8,37 или 12,37 или 29,12 (n = -1, 0, 1)
x>0: ( -12,75; 8,37)∪(4; 12,37)∪(20,75; 29,12)

Аналогично sin \frac{x-2}{8}:
0 + 2πn <<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin+%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B8%7D" id="TexFormula8" title="sin \frac{x-2}{8}" alt="sin \frac{x-2}{8}" align="absmiddle" class="latex-formula"> < π + 2πn, n ∈ Z;
16πn < x - 2 < 8π + 16πn;<br>2 + 16πn < x < 2 + 8π + 16πn;<br>
2 + 16πn ≈ -48,24 или 2 или 52,24 (n = -1, 0, 1)
2 + 8π + 16πn ≈ -23,12 или 27,12 или 77,36 (n = -1, 0, 1)
x>0: ( -48,24; -23,12)∪(2; 27,12)∪(52,24; 77,36)

Теперь, когда нам известны промежутки знакопостоянства всех множи-телей можно определить знаки всего выражения\frac{3-x- \sqrt{5-xв} }{-2sin \frac{3x-12}{8} sin \frac{x-2}{8}}.
(не забудем минус в знаменателе)
\left \{ {{(-\infty; 1)(2; \frac73)} \atop {{( -12,75; 8,37)(4; 12,37)(20,75; 29,12)} \atop{ ( -48,24; -23,12)(2; 27,12)(52,24; 77,36)}} \right. OD3: \left \{ {{- \sqrt5\ \textless \ x\ \textless \ \sqrt5 } \atop {sin...\neq0}} \right. \\ \left \{ {{ 1)(2; \frac73)} \atop {{( -12,75; 8,37)} \atop{ -23,12)(2; 27,12)}} \right{} [1)(2; \frac73\ \textless \ =\ \textgreater \ \frac{_{++}_{--}_{++}_{--}}{РР1РР2РР \frac37 РР} x ]
Перемножив знаки на промежутках и ограничив их ОДЗ получаем ответ
x∈[1; 2)(2; √5]
Похожие задачи