Решить уравнение

Question 1

Решить уравнение

$\sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3}= \sqrt[3]{3x-1}$

Question 2

$\sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3}= \sqrt[3]{3x-1}$

Возведём обе части уравнения в куб.

$( \sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3})^3=( \sqrt[3]{3x-1} )^3$

$( \sqrt[3]{5x-7})^3+(\sqrt[3]{x-3})^3+3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3)}*( \sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3}) =$ $=(\sqrt[3]{3x-1})^3$

$5x-7+x-3+3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3)}*\sqrt[3]{3x-1}={3x-1}$

$3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}={3x-1-6x+10}$

$3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=9-3x$

$\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=3-x$

$(\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})})^3=(3-x)^3$

${(5x-7)(x-3){(3x-1})}=-(x-3)^3$

${(5x-7)(x-3){(3x-1})}+(x-3)^3=0$

$(x-3)[(5x-7)(3x-1)+(x-3)^2]=0$

$(x-3)(15x^2-5x-21x+7+x^2-6x+9)=0$

$(x-3)(16x^2-32x+16)=0$

$16(x-3)(x^2-2x+1)=0$

$16(x-3)(x-1)^2=0$

$(x-3)(x-1)^2=0$

$x-3=0$ или $(x-1)^2=0$

$x=3$ или $x-1=0$

или $x=1$

Проверка корней:

$\sqrt[3]{5*3-7}+ \sqrt[3]{3-3}= \sqrt[3]{3*3-1}$

$\sqrt[3]{8}+ 0= \sqrt[3]{8}$ - верно

$\sqrt[3]{5*1-7}+ \sqrt[3]{1-3}= \sqrt[3]{3*1-1}$

$\sqrt[3]{-2}+ \sqrt[3]{-2}= \sqrt[3]{2}$ - неверно

Ответ: $3$

P.S.
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

Question 3

$\sqrt[3]{5x-7} + \sqrt[3]{x-3} = \sqrt[3]{3x-1}$
$\sqrt[3]{5x-7} = \sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3}$
$( \sqrt[3]{5x-7})^3 = (\sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3})^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$5x-7=$
$=\sqrt[3]{3x-1}^3- 3\sqrt[3]{(3x-1)^2(x-3)} +3\sqrt[3]{(3x-1)(x-3)^2}-\sqrt[3]{x-3}^3$
$5x-7=3x-1-(x-3)-3 \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)} ( \sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3} )$
$\sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3} = \sqrt[3]{5x-7}$
$3(x-3)=-3 \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)} * \sqrt[3]{5x-7}$
$x-3=- \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)(5x-7)}$
$(x-3)^3=(- \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)(5x-7} ))^3$
$(x-3)^3-(3x-1)(x-3)(5x-7)=0$
$(x-3)((x-3)^2+(3x-1)(5x-7))=0$
$x-3=0$
$x=3$
$(x-3)^2+(3x-1)(5x-7)=x^2-6x+9+15x^2-21x-5x+7=0$
$16x^2-32x+16=0$
$16(x^2-2+1)=0$
$16(x-1)^2=0$
$(x-1)^2=0$
$x=1$

$\sqrt[3]{15-7} + \sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{9-1}$
$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{8}$

$\sqrt[3]{-2} + \sqrt[3]{-2} \neq \sqrt[3]{2}$

Ответ:
$x=3$