M є { (x;y): }N { (x;y): }Найти самое большое расстояние MN

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Сразу очевидно что оба два уравнение это есть Окружности
Приведем оба уравнение в канонический вид
$1) x^2+y^2-4x-4y+7 \leq 0\\ x^2-4x+4+y^2-4y+4-1 \leq 0 \\ (x-2)^2+(y-2)^2 \leq 1\\$
Это уравнение окружности с центром точками координат равными $O(2;2)$
с радиусом 1

$2)\\ x^2+y^2+6x+6y+17 \leq 0\\ x^2+6x+9+y^2+6y+9-1 \leq 0\\ (x+3)^2+(y+3)^2 \leq 1\\$
С центром равными $O_{1}(-3;-3)\\ R=1$
По рисунку видно что так!
Теперь можно поступить так , найти уравнение прямой , затем решить две системы уравнения, нестрогость можно опустить !
Для N, уравнение прямой будет y=x;
Решим систему, учитывая то что прямая будет пересекать эту окружность в двух точках выберем ту которая больше 2
$\left \{ {{x^2+y^2-4x-4y+7 =0} \atop {x=y}} \right.\\ \\ x=y=\frac{\sqrt{2}+4}{2}\\$
то есть координаты M уже известны, теперь N
так же
$\left \{ {{x^2+y^2+6x+6y+17=0} \atop {x=y}} \right. \\ y=x= - \frac{\sqrt{2}+6}{2}\\$
Теперь найдем длину MN, по формуле $MN=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\\ MN=\sqrt{2(5-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}(5-\sqrt{2})=5\sqrt{2}-2$

Матов_zn (224k баллов) 13 Март, 18