64 пж с объяснениями)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Придется применить знания из линейной алгебры.
Чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы
ранг основной матрицы был отличен от нуля.

Выпишем определитель основной матрицы

$\left[\begin{array}{cc}2&a+1\\a+2&6\end{array}\right] =2*6-(a+2)*(a+1)=$

$=12-(a^2+3a+2)=12-a^2-3a-2=10-a^2-3a$

В случае, когда этот определитель не равен нулю будет единственное решение у этой системы
$10-a^2-3a=0$

$a^2+3a-10=0$

$D=3^2-4*(-10)=9+40=49=7^2$

$a_{1,2}=\frac{-3\pm7}{2}$

$a_1=\frac{-3-7}{2},\quad a_2=\frac{-3+7}{2}$

$a_1=-5,\quad a_2=2$

При а=-5 получаем следующую систему

$\left \{ {{2x+(-5+1)y=5} \atop {(-5+2)x+6y=8-5}} \right.$

$\left \{ {{2x-4y=5} \atop {-3x+6y=3}} \right.$

Сократим на 3 последнее уравнение

$\left \{ {{2x-4y=5} \atop {-x+2y=1}} \right.$

Разделим обе части на (-2) в первом уравнении

$\left \{ {{-x+2y=-2,5} \atop {-x+2y=1}} \right.$

Как видно, первое и второе уравнения противоречат друг другу. Значит в этом случае нет решения.

При а=2 получаем другую систему уравнений

$\left \{ {{2x+(2+1)y=5} \atop {(2+2)x+6y=8+2}} \right.$

$\left \{ {{2x+3y=5} \atop {4x+6y=10}} \right.$

Если второе уравнение на 2, то получим первое уравнение. То есть имеем только одно уравнение
2x+3y=5. Это уравнение имеет бесконечно много решений. В этом случае будет бесконечно много решений.

Ответ:

1) при $a \neq -5,\quad a \neq 2$ система имеет единственное решение

2) а=-5 система не имеет ни одного решения

3) а=2 - система имеет бесконечно много решений.

Р.S. можно было в первом случае выразить решения х и у через а, только в условии задачи, вроде этого не требовалось. Использована альтернатива Фредгольма.

bearcab_zn (114k баллов) 13 Март, 18