Один из углов некоторого пятиугольника равен среднему арифметическому четырёх остальных...

Сумма углов выпуклого n-угольника равна $180^\circ(n-2)$ .

Значит сумма углов правильного 5-угольника равна $540^\circ$

Пусть 4 угла из условия a, b, c, d, а пятый $e={a+b+c+d\over4}$

Тогда

$a+b+c+d+{a+b+c+d\over4}={5\over4}(a+b+c+d)=540^\circ\Rightarrow\\\Rightarrow e ={a+b+c+d\over4}={540^\circ\over5}=108^\circ$

Ответ: $108^\circ$