Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см . Из его высоты построен второй...

Question

Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см . Из его высоты построен второй треугольник . Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т.д. Докажите что периметры треуольников образуют геометрическую прогрессию ю Найдите периметр восьмого треугольника

Answer 1

Высота 1 треугольника равна h1 = a*√3/2 = 8*√3/2 = 4√3
Из этих высот построен 2 треугольник.
Его высота h2 = h1*√3/2 = 4√3*√3/2 = 2*3 = 6
И так далее.
Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию
b1 = 8; q = √3/2. Периметры тоже образуют геометрическую прогрессию.
Сторона 8 треугольника
b8 = b1*q^7 = 8*(√3)^7/2^7 = 2^3*3^3*√3/2^7 = 3^3*√3/2^4 = 27√3/16
Периметр 8 треугольника
P = 3*b8 = 3*27√3/16 = 81√3/16