Это была начинающая талантливая артистка (1), которая, чтобы получить признание публики (3), должна была неустанно трудиться над сценическим мастерством (2).
Сложноподчиненное предложение, в котором есть одна главная часть и две придаточные:
Это была начинающая талантливая артистка (1) - главная часть
...которая должна была неустанно трудиться над сценическим мастерством (2) - первая придаточная часть
....чтобы получить признание публики (3) - вторая придаточная часть
Соответственно, первая запятая отделяет главную часть от подчиненных частей, а последующие две запятые обособляют придаточную часть, которая находится внутри второго предложения.