Вопрос в картинках...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1-й способ. Угадываем решение $x=-1 \ (\sqrt{15-(-1)}+\sqrt{3-(-1)}=\sqrt{16}+\sqrt{4}+4+2=6$ - верно).

Левая часть уравнения - это сумма двух убывающих функций и поэтому убывает. Правая часть - константа. Следовательно, других решений нет.

Ответ: - 1

2-й способ. $\sqrt{15-x}=a \geq 0;\ \sqrt{3-x}=b \geq 0;$
уравнение равносильно системе
$\left \{ {{a+b=6} \atop {a^2-b^2=12}} \right.; \left \{ {{a+b=6} \atop {(a-b)(a+b)=12}} \right. ; \left \{ {{a+b=6} \atop {a-b=2}} \right.; \left \{ {{a=4} \atop {b=2}} \right.; \sqrt{3-x}=2; 3-x=4;$
$x=-1.$ Проверка

3-й способ. Угадываем корень x=-1 (4+2=6). Пусть x отличен от -1. Преобразуем: $(\sqrt{15-x}-4)+(\sqrt{3-x}-2)=0; \frac{15-x-16}{\sqrt{15-x}+4}+\frac{3-x-4}{\sqrt{3-x}+2}=0;$

$\frac{-x-1}{\sqrt{15-x}+4}+\frac{-x-1}{\sqrt{3-x}+2}=0; \frac{1}{\sqrt{15-x}+4}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+2}=0.$

Поскольку левая часть положительна, других решений нет.

4-й способ. Домножим левую и правую части уравнения на разность корней:

$15-x-3+x=6(\sqrt{15-x}-\sqrt{3-x}); \sqrt{15-x}-\sqrt{3-x}=2.$ .

Возьмем разность между исходным уравнением и полученным:

$2\sqrt{3-x}=4; x=-1;$ проверка.

5-й способ. Возводим уравнение в квадрат:

$15-x+3-x+2\sqrt{(15-x)(3-x)}=36; 2\sqrt{(15-x)(3-x)}= 2x+18$ ;

$\sqrt{(15-x)(3-x)}=x+9;$ возводим в квадрат:

$45-18x+x^2=x^2+18x+81; 36x=-36; x=-1;$ проверка: 4+2=6.

Замечание. Можно было бы привести еще пару-тройку способов)))

yugolovin_zn (64.0k баллов) 11 Май, 18