А нету такого выражения. Есть: "бурная молодость" и "бурный успех".
Бурный успех - это применительно к театральным постановкам. Когда публика рукоплещет и билетов не достать.
Бурная молодость - это когда в молодости человек много денег на развлечения потратил.
А бурной славы - нет.