Найти частные решения дифференциальных уравнений второго порядка y"-2y'-8y=0, если y=4,...

Сделаем замену(подстановку Эйлера) $y=e^{kx}$ , то есть:

$\displaystyle \frac{d^2(e^{kx})}{dx^2} -2\cdot \frac{d(e^{kx})}{dx} -8\cdot e^{kx}=0\\ \\ k^2e^{kx}-2ke^{kx}-8e^{kx}=0\\ e^{kx}(k^2-2k-8)=0$

$k^2-2k-8=0$ - характеристическое уравнение.

По т. Виета:

$k_1=-2;\\ k_2=4$

$y_1=C_1e^{k_1x}=C_1e^{-2x}\\ y_2=C_2e^{k_2x}=C_2e^{4x}$

То есть, дифференциальное уравнение будет иметь общее решение в виде:

$y=y_1+y_2=C_1e^{-2x}+C_2e^{4x}$ - общее решение

$y'=-2C_1e^{2x}+4C_2e^{4x}\\ \\ 10=-2C_1+4C_2\\ \\ 5=-C_1+2C_2$

$4=C_1+C_2$

Составим систему:

$+\displaystyle \left \{ {{5=-C_1+2C_2} \atop {4=C_1+C_2}} \right. \\ \\ 9=3C_2\\ C_2=3\\ C_1=4-C_2=4-3=1$

$y=e^{-2x}+3e^{4x}$  - частное решение