Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения: 1) 27^n+12 кратно 13;...

Question

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:
1) 27^n+12 кратно 13;
2) 17^n+15 кратно 16;
3) 8^n+15^n-2 кратно 7;
4) 3*9^n+7*7^2n кратно 10.

Comments

тема какая? матеметическая индукция?

---

Формулы разложения на множители выражения вида a^n-b^n и a^n+b^n.Вот они, если нужно:1) a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2*b+a^n-3*b^2+...+a*b^n-2+b^n-1)2) a^n+b^n=(a+b)(a^n-1-a^n-2*b+a^n-3*b^2-...-a*b^n-2+b^n-1)

---

ну тогда все просто, сейчас напишу

---

Спасибо огромное!

---

в 3) ошибка? не + а - ?

Answer 1

1) 27^n+12 =27^n-1^n+13=(27-1)(27^(n-1)+27^(n-2)+...+1)+13=26(27^(n-1)+27^(n-2)+...+1)+13=13(2(27^(n-1)+27^(n-2)+...+1)+1)

 2) 17^n+15=17^n-1^n+16=(17-1)(17^n+17^(n-1)+..+1)+16=16(17^n+17^(n-1)+..+1+1)

 3) 8^n-15^(n-2)=8^2*8^(n-2)-15^(n-2)=64*8^(n-2)-15^(n-2)=64(8^(n-2)-1^(n-2)+1)-(15^(n-2)-1^(n-2)+1)=64+64(8^(n-2)-1^(n-2))-(15^(n-2)-1^(n-2))-1=63+(8-1)(8^(n-3)-8^(n-4)+...)-(15-1)(15^(n-3)-15^(n-4)+...)=63+7(8^(n-3)-8^(n-4)+...)-14(15^(n-3)-15^(n-4)+...)=7(9+(8^(n-3)-8^(n-4)+...)-2(15^(n-3)-15^(n-4)+...))

4) 3*9^n+7*7^2n =3^(2n+1)+7^(2n+1)=(3+7)(3^(2n)+7*3^(2n-1)+...+7^(2n))= 10(3^(2n)+7*3^(2n-1)+...+7^(2n))

Comments

Огромное спасибо! Ваше решение мне очень сильно помогло!