1. M(-sqrt(2); -sqrt(6))
полярные координаты - r - радиус-вектор и phi - угол относительно положительного направления оси абсцисс.
r = sqrt(x^2 + y^2) - как диагональ прямоугольника со сторонами, имеющими длины координат.
tg(phi) = y/x - из того же прямоугольника
phi = arctg(y/x) - но! важно учитывать четверть.
r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(2 + 6) = sqrt(8)
phi = arctg(y/x) = arctg(sqrt(3)) = 60 градусов. Вспоминаем про четверть, обе координаты меньше нуля, значит, точка лежит в 3 четверти, т.е угол равен 60 + 180 = 240 градусов
Ответ: r = sqrt(8), phi = 4*pi/3
2. (a + 3*b) * (2*a - b) = 2*a*a - a*b + 6 * a * b - 3 * b * b
все произведения являются скалярными, т.е. a*b =|a| * |b| * cos(угла между ними), но т.к. они перпендикулярны, то косинус будет равен нулю.
сократилось все, кроме:
2*a*a - 3*b*b
угол между вектором и им самим же равен нулю, т.е. косинус равен 1, получаем:
2 * |a| * |a| - 3 * |b| * |b| = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5
Ответ: 5
3. a = (2, 5, 1)
b = (1, 2, -3)
a*b = по формуле определителя матрицы
i j k
ax ay az
bx by bz
= (ay * bz - az * by; az * bx - ax * bz; ax*by - ay*bx) = (-17; 7; -1)
Ответ: a*b = (-17; 7; 1)
4. Нужно найти длины векторов, а далее воспользоваться формулой Герона.
A = (-1, 4, 3)
B = (1, 0, 2)
C = (-6, 2, 4)
длина вектора, заданного двумя точками равна корнем из суммы квадратов разностей соответствующих координат.
a = |AB| = sqrt((-1 - 1) ^2 + (4 - 0)^2 + (3 - 2)^2) = sqrt(21)
аналогично
b = |AC| = sqrt(30)
c = |BC| = sqrt(57)
S = sqrt(p*(p - a)*(p-b)*(p-c)
Если надо, то можно "запариться" и получить выражение в аналитическом виде, но проще на калькуляторе получить готовый результат.
S ~ 12.46 квадратных единиц.
Ответ: 12.46 квадратных единиц.
5. Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов,
на которых он построен:
V = a * (c x b) - внутреннее произведение - векторное, наружное - скалярное.
V = определитель матрицы:
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
или
1 - 1 1
1 1 1
2 3 4
и равен 4. Расписывать нахождение определителя тоже не буду - есть много сервисов онлайн или можно по-честному расписать руками.
Ответ: V = 4 кубических единицы