Угадываем корень x=1 (1-11+19-9=0)⇒ многочлен раскладывается на скобки, одна из которых (x-1), а вторая является многочленом второй степени. Чтобы найти его, можно поделить исходный многочлен на (x-1), но лень. Попробуем подобрать его без деления столбиком. Ясно, что коэффициент при x^2 равен 1 (иначе при перемножении не получится коэффициент 1 при x^3). Ясно также, что свободный член равен +9 (чтобы при перемножении получился правильный свободный член
-9=(-1)·9.
Остается угадать коэффициент при первой степени.
x^3-11x^2+19x-9=(x-1)(x^2+ax+9).
В левой части коэффициент при первой степени равен 19, а в правой
(перемножив скобки) 9-a. Значит, 9-a=19; a= -10⇒
x^3-11x^2+19x-9=(x-1)(x^2-10x+9).
Дальше просто:
x^3-11x^2+19x-9=(x-1)^2(x-9)≥0;
применяем метод интервалов, не забывая, что у нас есть скобка во второй степени.
Ответ: {1}∪[9;+∞)
А что Вы собирались делать с дискриминантом, понять невозможно. Дискриминант же используется для уравнений второй степени (конечно, понятие дискриминанта существует для многочленов любой степени, но ведь там получается сплошное занудство, даже для уравнения 3-ей степени. Применение формул Кардано затрудняется наличием второй степени (придется делать линейный сдвиг, чтобы избавиться от нее).
К успеху в этой задаче, кстати, приводит поиск кратных корней с помощью поиска общих корней многочлена и его производной
3x^2-22x+19=(x-1)(3x-19)