1) Кучер мой слез молча и не торопясь. (Наречие и деепричастие относятся к одному глаголу и соединены союзом "и").
2) Языков закрыл ладонью лицо и сидел не двигаясь. (Деепричастие тесно связано с сказуемым, если убрать, теряется смысл).
3) Не смолкая (как?) бушует метель за окном. (Деепричастия перешло в наречие).
4) Костин не колеблясь (как?) отправился к двери. (Деепричастия перешло в наречие)