Помогите решить,спасибо!

Question

Помогите решить,спасибо!

---

Answer 1

4) Найти площадь, ограниченную линиями:
у = х²+4х,
у = х,
у = 0.
Эта площадь складывается их площадей криволинейной трапеции функции у = х²+4х и треугольника между осью Ох и прямой у = х.
Находим граничные точки криволинейной трапеции.
Приравниваем х²+4х = х,
х²+3х = 0  или х(х+3) = 0.
То есть парабола пересекает прямую в двух точках: х = 0  и х = -3.
Для криволинейной трапеции есть одна точка: х = -3.
Теперь найдём точку пересечения параболы с осью Ох:
х²+4х = 0,
х(х+4) = 0.
Одна точка известна: х = 0.
Вторая точка: х = -4.
Площадь криволинейной трапеции равна интегралу функции у = х²+4х от -4 до -3: 

Площадь треугольника равна (1/2)3*3 = 9/2.
Ответ: площадь фигуры равна (5/3)+(9/2) = 37/6.

Answer 2

1) a) Int (-6; 0) dx/(0,5x+4) = 2ln |0,5x+4| |(-6; 0) = 2(ln 4 - ln |-3+4|) =
= 2(ln 4 - ln 1) = 2ln 4
b) Int (1; 2) (4x + 3 - 4/x^2) dx = (2x^2 + 3x + 4/x) | (1; 2) =
= 2*4 + 3*2 + 4/2 - (2*1 + 3*1 + 4/1) = 8 + 6 + 2 - 2 - 3 - 4 = 7
c) Сначала упростим выражение
(cos(x/8) - sin(x/8))^2 = cos^2 (x/8) - 2sin(x/8)*cos(x/8) + sin^2 (x/8) =
= 1 + sin(x/4)
Теперь решаем интеграл
Int (0; 2pi) (1 + sin(x/4)) dx = (x - 4cos(x/4)) | (0; 2pi) =
= 2pi - 4cos(pi/2) - (0 - 4cos 0) = 2pi - 4*0 - 0 + 4*1 = 2pi + 4